Question

附加題
（1）試用一元二次方程的求根公式，探索方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根互為相反數的條件是

 

．
（2）已知x、y為實數，

3x-2

+y2-4y+4=0，則

x

y

=

 

．
（3）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，動點P從點D出發，沿線段DA方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB以每秒1個單位長度的速度向點B運動．點P、Q分別從點D、C同時出發，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動，設運動時間為t秒．
①設△BPQ的面積為S，求S和t之間的函數關系式；
②當t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三等形？（分類討論）

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程根與系數的關系，兩根之和等于-

b

a

=0，可求出b=0；
（2）先將原式變形為

3x-2

+(y-2)2=0，再根據二次根式與平方都是非負數，即可求得x=

2

3

，y=2，即可求得

x

y

=

1

3

．
（3）①作PM⊥BC，則PM=DC，根據三角形的面積公式S=

1

2

BM•PM即可求解．
②若以B、P、Q三頂為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：第一種：PQ=BQ；第二種：BP=BQ；第三種：若PB=PQ．根據勾股定理可求得t=

7

2

或t=

16

3

，B、P、Q三點為頂點三角形是等腰三角形．

解答：解：（1）依題意可知：
x₁+x₂=-

b

a

=0，
∵a≠0
∴b=0．
并且判別式△=b2-4ac≥0，則a，c異號．
故方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根互為相反數的條件是：b=0，且a，c異號．
（2）

3x-2

+y2-4y+4=0，
即

3x-2

+(y-2)2=0，
∴3x-2=0，y-2=0，
∴x=

2

3

，y=2，
∴

x

y

=

1

3

．

（3）①作PM⊥BC，垂足為M．
則四邊形PDCM為矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16-t，
∴S=

1

2

×12(16-t)=96-6t．

②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三頂為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：
第一種：PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=PM²+QM²=12²+t²，解t=

7

2

．
第二種：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²，3t²-32t+144=0無實根，
∴PB≠BQ．
第三種：若PB=PQ，由PB²=PQ²得t²+12²=（16-2t）²+12²，解得t₁=

16

3

，t₂=16（舍去）
綜上可知：t=

7

2

或t=

16

3

，B、P、Q三點為頂點三角形是等腰三角形．

點評：本題重點考查了根與系數的關系；根式和完全平方式的意義；三角形面積公式及勾股定理的應用．