Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠AOB=α，將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．
（1）當四邊形ABCD為矩形時，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．

（2）當四邊形ABCD為平行四邊形時，設AC=kBD，如圖2．
①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關系，證明你的猜想；
②探究AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，

∴OA=OC=OB=OD，

又∵OD=OD′，OC=OC′，

∴OB=OD′=OA=OC′，

∵∠D′OD=∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′，

∴在△BOD′和△AOC′中，

∴△BOD′≌△AOC′

（2）

解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：

∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，

又∵OD=OD′，OC=OC′，

∴OC′=OA，OD′=OB，

∵∠D′OD=∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′，

∴△BOD′∽△AOC′，

∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，

∵AC=kBD，

∴AC′=kBD′，

∴△BOD′∽△AOC′；

②AC′=kBD′，∠AMB=α；

設BD′與OA相交于點N，

∴∠BNO=∠ANM，

∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM=180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，

綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α

【解析】（1）根據矩形的性質及角之間的關系證明△BOD′≌△AOC′；（2）①先進行假設，然后根據平行四邊形的性質及相似三角形比例關系即可得出答案；②易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB=α．