Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中O是原點，ABCD的頂點A，C的坐標分別是（8，0），（3，4），點D，E把線段OB三等分，延長CD、CE分別交OA、AB于點F，G，連接FG．則下列結論：
①F是OA的中點；②△OFD與△BEG相似；③四邊形DEGF的面積是 ；④OD=
其中正確的結論是（填寫所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴BC∥OA，BC=OA，
∴△CDB∽△FDO，
∴ ，
∵D、E為OB的三等分點，
∴ = ，
∴ ，
∴BC=2OF，
∴OA=2OF，
∴F是OA的中點；
所以①結論正確；②如圖2，延長BC交y軸于H，

由C（3，4）知：OH=4，CH=3，
∴OC=5，
∴AB=OC=5，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴OA≠AB，
∴∠AOB≠∠EBG，
∴△OFD∽△BEG不成立，
所以②結論不正確；③由①知：F為OA的中點，
同理得；G是AB的中點，
∴FG是△OAB的中位線，
∴FG= ，FG∥OB，
∵OB=3DE，
∴FG= DE，
∴ = ，
過C作CQ⊥AB于Q，
SOABC=OAOH=ABCQ，
∴4×8=5CQ，
∴CQ= ，
S△OCF= OFOH= ×4×4=8，
S△CGB= BGCQ= × × =8，
S△AFG= ×4×2=4，
∴S△CFG=SOABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8×4=12，
∵DE∥FG，
∴△CDE∽△CFG，
∴ = = ，
∴ = ，
∴ ，
∴S四邊形DEGF= ；
所以③結論正確；④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2 ，
∴OB= = ，
∴OD= ，
所以④結論不正確；
故本題結論正確的有：②③；
所以答案是：②③．

【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．