Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）

（1）當k= 時，求這個二次函數的頂點坐標；
（2）求證：關于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有兩個不相等的實數根；
（3）如圖，該二次函數與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于C點，P是y軸負半軸上一點，且OP=1，直線AP交BC于點Q，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將k= 代入二次函數可求得，

y=x2﹣2x+

=（x﹣1）2﹣ ，

故拋物線的頂點坐標為：（1，﹣ ）

（2）

解：∵一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0，

∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，

∴關于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有兩個不相等的實數根

（3）

解：由題意可得：點P的坐標為（0，﹣1），

則0=x2﹣（2k+1）x+k2+k

0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），

故A（k，0），B（k+1，0），

當x=0，則y=k2+k，

故C（0，k2+k）

則AB=k+1﹣k=1，OA=k，

可得

，

yBC=﹣kx+k2+k，

當 x﹣1=﹣kx+k2+k，

解得：x=k+ ，

則代入原式可得：y= ，

則點Q坐標為

運用距離公式得：AQ2=（ ）2+（ ）2= ，

則OA2=k2，AB2=1，

故 +1= = ，

則 ．

【解析】（1）直接將k的值代入函數解析式，進而利用配方法求出頂點坐標；（2）利用根的判別式得出△=1，進而得出答案；（3）根據題意首先表示出Q點坐標，以及表示出OA，AB的長，再利用兩點之間距離求出AQ的長，進而求出答案．此題主要考查了二次函數綜合以及根的判別式和配方法求二次函數頂點坐標和兩點之間距離求法等知識，正確表示出Q點坐標是解題關鍵．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用求根公式和兩點間的距離的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．