Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

延長AE、BC交于點F．根據同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA證明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=AF，由線段垂直平分線的性質得到AB=BF，再根據等腰三角形的三線合一得出BD是∠ABC的角平分線，由角平分線的性質定理即可得出結論．

證明：延長AE、BC交于點F. 如圖所示：

∵AE⊥BE，

∴∠BEA=90°，

又∠ACF=∠ACB=90°，

∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠DBC=∠FAC，

在△ACF和△BCD中,

，

∴△ACF≌△BCD(ASA)，

∴AF=BD.

又AE=BD，

∴AE=AF，即點E是AF的中點，

∴AB=BF，

∴BD是∠ABC的角平分線，

∵∠C=90°，DF⊥AB于F，

∴CD=DF.