Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿C→A→B方向的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△PCQ的面積為S平方單位．
①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)S最大時(shí)，過點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）7
（2）

解：Q從C到A的時(shí)間是2秒，P從B到C的時(shí)間是3秒．

則當(dāng)0≤t≤2時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1s．

當(dāng)2＜t≤3時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=QC（如圖1）．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH= PC．△AQH∽△ABC，

∵BC=3，AB=5，QH⊥AC，

∴ = = ，

∴QH= AQ，

在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，則QH= AQ= ．

∵PC=BC﹣BP=3﹣t，

∴ （2t﹣4）= （3﹣t），

解得：t= s；

綜上所述，t=1s或 s

（3）

解：①連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點(diǎn)O，過Q作QE⊥CA于點(diǎn)E，過O作OF⊥CA于點(diǎn)F，

則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，P一定在AC上，則PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．

同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是： （14﹣2t），

故S= （t﹣3）× （14﹣2t）= （﹣t2+10t﹣21）．

②故當(dāng)t=5時(shí)，s有最大值，此時(shí)，P在AC的中點(diǎn)．（如圖2）．

∵沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，

∴PD一定是AC的中垂線．

則AP= AC=2，PD= BC= ，

AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．

則PC邊上的高是： AQ= ×4= ．

∵∠COF=∠CDP=∠B，

所以，在Rt△COF中，tan∠COF= ，設(shè)OF為x，

則利用三角函數(shù)得CF= ，PF=2﹣ ，

則QE= ，AE= ，

∴PE=AE﹣AP= ，

∵△POF∽△PQE，

∴ = ，

解得：x= ，

S△PCO= ×2× = ．

【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC= =4，
則Q從C到B經(jīng)過的路程是9，需要的時(shí)間是4.5秒．此時(shí)P運(yùn)動(dòng)的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5﹣4.5=7.5．
根據(jù)題意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7s．
【考點(diǎn)精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．