Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點C，點B的坐標為（a，0），（其中a＞0），直線l過動點M（0，m）（0＜m＜2），且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點D、E，P點在y軸上（P點異于C點）滿足PE=CE，直線PD與x軸交于點Q，連接PA．

（1）寫出A、C兩點的坐標；
（2）當0＜m＜1時，若△PAQ是以P為頂點的倍邊三角形（注：若△HNK滿足HN=2HK，則稱△HNK為以H為頂點的倍邊三角形），求出m的值；
（3）當1＜m＜2時，是否存在實數m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代數式表示）；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直線解析式y=2x+2中，當y=0時，x=﹣1；當x=0時，

y=2，

∴A（﹣1，0），C（0，2）

（2）

解：當0＜m＜1時，依題意畫出圖形，如答圖1所示．

∵PE=CE，∴直線l是線段PC的垂直平分線，

∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），

∴P（0，2m﹣2）；

直線l與y=2x+2交于點D，令y=m，則x= ，∴D（ ，m），

設直線DP的解析式為y=kx+b，則有

，解得：k=﹣2，b=2m﹣2，

∴直線DP的解析式為：y=﹣2x+2m﹣2．

令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）．

已知△PAQ是以P為頂點的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ，

∴ ，即 ，

整理得：（m﹣1）2= ，解得：m= （ ＞1，不合題意，舍去）或m= ，

∴m=

（3）

解：當1＜m＜2時，假設存在實數m，使CDAQ=PQDE．

依題意畫出圖形，如答圖2所示．

由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，

由勾股定理得：PQ= （m﹣1）；

∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），

∴AQ=m，AB=a+1；

∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA= ．

∵直線l∥x軸，∴△CDE∽△CAB，

∴ ；

又∵CDAQ=PQDE，∴ ，

∴ ，即 ，

解得：m= ．

∵1＜m＜2，

∴當0＜a≤1時，m≥2，m不存在；當a＞1時，m= ．

∴當1＜m＜2時，若a＞1，則存在實數m= ，使CDAQ=PQDE；若0＜a≤1，則m不存在．

【解析】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征求解；（2）如答圖1所示，解題關鍵是求出點P、點Q的坐標，然后利用PA=2PQ，列方程求解；（3）如答圖2所示，利用相似三角形，將已知的比例式轉化為： ，據此列方程求出m的值．
【考點精析】通過靈活運用一次函數的性質和一次函數的圖象和性質，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減�。灰淮魏瘮凳侵本�，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠即可以解答此題．