Question

【題目】如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OC⊥OB，連接AB交OC于點D．

（1）AC與CD相等嗎？為什么？

（2）若AC=2，AO=，求OD的長度．

Answer 1

【答案】（1）AC=CD（2）OD=1

【解析】

解：（1）AC=CD，理由如下：

∵OA=OB，∴∠OAB=∠B。

∵直線AC為圓O的切線，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°。

∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°。∴∠ODB+∠B=90°。

∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°。

∴∠DAC=∠CDA。∴AC=CD。

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，

根據勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，

解得：OD=1（負值已舍去）。

（1）AC=CD，理由為：由AC為圓的切線，利用切線的性質得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再利用對頂角相等及等角的余角相等得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證。

（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的長。