Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2﹣ x+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O與點(diǎn)A（6，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，交直線y=2x﹣2于點(diǎn)C，且直線y=2x﹣2與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x﹣2的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式及l(fā)的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)O（0，0），A（6，0）代入y=ax2﹣ x+c，得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x．

當(dāng)x=6時(shí)，y=2×6﹣2=10，

當(dāng)y=0時(shí)，2x﹣2=0，解得x=1，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（6，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，0）

（2）

解：過(guò)點(diǎn)A′作AF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)D（1，0），A（6，0），可得AD=5，

在Rt△ACD中，CD= =5 ，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線y=2x﹣2對(duì)稱，

∴∠AED=90°，

∴S△ADC= ×5 AE= ×5×10，

解得AE=2 ，

∴AA′=2AE=4 ，DE= = ，

∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，

∴△ADE∽△AA′F，

∴ = = ，

解得AF=4，A′F=8，

∴OF=8﹣6=2，

∴點(diǎn)A′坐標(biāo)為（﹣2，4），

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y= ×4﹣ ×（﹣2）=4，

∴A′在拋物線上

（3）

解：∵點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P（x， x2﹣ x），

設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b，

∵直線A經(jīng)過(guò)A′（﹣2，4），C（6，10）兩點(diǎn)，

∴ ，解得 ，

∴直線A′C的解析式為y= x+ ，

∵點(diǎn)Q在直線A′C上，PQ∥AC，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x， x+ ），

∵PQ∥AC，又點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方，

∴l(xiāng)=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x）=﹣ x2+ x+ ，

∴l(xiāng)與x的函數(shù)關(guān)系式為l=﹣ x2+ x+ ，（﹣2＜x≤6），

∵l=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)x= 時(shí)，l的最大值為 ．

【解析】（1）把O、A代入拋物線解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐標(biāo)，根據(jù)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)．（2）過(guò)點(diǎn)A′作AF⊥x軸于點(diǎn)F，求出A′F、FO即可解決問(wèn)題．（3）設(shè)點(diǎn)P（x， x2﹣ x），先求出直線A′C的解析式，再構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．本題考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法，最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決問(wèn)題最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．