Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，點D在⊙O上，過點D作⊙O切線與AC的延長線交于點E，ED∥BC，連接AD交BC于點F.

（1）求證：∠BAD＝∠DAE；

（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）連接OD，由ED為⊙O的切線，根據切線的性質得到OD⊥ED，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據平行線的判定和性質得到角之間的關系，又因為OA=OD，得到∠BAD=∠ADO，推出結論∠BAD=∠DAE；

（2）連接BD，得到∠ADB=90°，由勾股定理得到，根據三角函數的定義得到tan∠CBD=tan∠BAD=，由DF=BDtan∠CBD=．

詳解：（1）連接OD，

∵ED為⊙O的切線，

∴OD⊥ED，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵BC∥ED，

∴∠ACB=∠E=∠EDO，

∴AE∥OD，

∴∠DAE=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠BAD=∠DAE；

（2）連接BD，

∴∠ADB=90°，

∵AB=6，AD=5，

∴，

∵∠BAD=∠DAE=∠CBD，

∴tan∠CBD=tan∠BAD=，

在Rt△BDF中，

∴DF=BDtan∠CBD=．