Question

【題目】在梯形ABCD中，AD∥BC ， AB=CD ， ∠AOD=60°，E為OA的中點，F為OB的中點，G為CD的中點，試判斷△EFG的形狀并說明理由 ．

Answer 1

【答案】解：△EFG為等邊三角形；證明如下：
如圖，連接DE、CF；

∵AD∥BC ， AB=CD ，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD；
在△ABD與△DCA中，
AB＝DC
AD＝DA
BD＝AC
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠OAD=∠ODA ， AO=DO；而∠AOD=60°，
∴△AOD為等邊三角形，AD=OD；
∵AE=OE ，
∴DE⊥AO ， △CDE為直角三角形，
∵DG=CG ，
∴EG= CD；同理可求：FG= CD；
∵E為OA的中點，F為OB的中點，
∴EF為△OAB的中位線，
∴EF= AB；而AB=CD ，
∴EG=FG=EF ，
∴△EFG為等邊三角形 ．
【解析】如圖，作輔助線；首先證明∠OAD=∠ODA ， 得到AO=DO ， 結合∠AOD=60°，判斷出△AOD為等邊三角形，此為解題的關鍵性結論；其次證明DE⊥AC ， 運用直角三角形的性質證明EG=FG= CD；運用三角形的中位線定理證明EF= AB ， 結合AB=CD ， 得到EG=FG=EF ， 即可解決問題 ．
【考點精析】利用三角形中位線定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．