Question

【題目】如圖，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F和G，H．

（1）求證：△PHC≌△CFP；
（2）證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關系．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB∥CD，AD∥BC．

∵PF∥AB，

∴PF∥CD，

∴∠CPF=∠PCH．

∵PH∥AD，

∴PH∥BC，

∴∠PCF=∠CPH．

在△PHC和△CFP中，

，

∴△PHC≌△CFP（ASA）．

（2）

證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=∠B=90°．

又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，

∴四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形．

∵EF∥AB，

∴∠CPF=∠CAB．

在Rt△AGP中，∠AGP=90°，

PG=AGtan∠CAB．

在Rt△CFP中，∠CFP=90°，

CF=PFtan∠CPF．

S矩形DEPH=DEEP=CFEP=PFEPtan∠CPF；

S矩形PGBF=PGPF=AGPFtan∠CAB=EPPFtan∠CAB．

∵tan∠CPF=tan∠CAB，

∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．

【解析】（1）由矩形的性質得出對邊平行，再根據平行線的性質得出相等的角，結合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性質找出∠D=∠B=90°，再結合對邊互相平行即可證出四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，通過角的正切值，在直角三角形中表示出直角邊的關系，利用矩形的面積公式即可得出兩矩形面積相等．本題考查了矩形的判定及性質、全等三角形的判定及性質以及平行線的性質，解題的關鍵是：（1）通過平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理來證明四邊形為矩形．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據結合矩形的性質及全等三角形的判定定理來解決問題是關鍵．