Question

某校甲、乙兩同學(xué)對(duì)關(guān)于x的方程：-3（x-1）²+m=0進(jìn)行探究，其結(jié)果：甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m=0時(shí)，方程的兩根都為1，當(dāng)m＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論m取什么正實(shí)數(shù)時(shí)都不能使方程的兩根之和為零．（
1）請(qǐng)找一個(gè)m的值代入方程使方程的兩個(gè)根為互不相等的整數(shù)，并求這兩個(gè)根；
（2）乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否正確？試證明之．

Answer 1

分析：（1）由于方程為-3（x-1）²+m=0，可以變?yōu)?span id="k02g02k" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(x-1)2=

m

3

，根據(jù)這個(gè)形式和方程根的要求即可求解；
（2）乙同學(xué)的結(jié)論正確．當(dāng)m＞0，首先求出方程的根，然后求和即可證明是否正確．

解答：解：（1）-3（x-1）²=-m，
即(x-1)2=

m

3

，
如取m=27，

m

3

=9，
代入解得x₁=4，x₂=-2．
（答案不唯一，m為任意完全平方數(shù)的3倍）；

（2）乙同學(xué)的結(jié)論正確．
∵當(dāng)m＞0，(x-1)2=

m

3

，
∴x=1±

m 3

，
∵1+

m 3

+1-

m 3

=2，（用根與系數(shù)的關(guān)系做也可）
即：當(dāng)m為任何正數(shù)時(shí)都兩根和為2，
∴乙同學(xué)結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了一元二次方程的解，其中將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．