Question

【題目】如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，過點B的直線與CD的延長線交于點F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求證：BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠F= ，CD=a，請用a表示⊙O的半徑；
（3）求證：GF2﹣GB2=DFGF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵OA⊥CD，

∴∠OAB+∠AGC=90°，

又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，

∴∠FBG+∠OBA=90°，

即∠OBF=90°，

∴OB⊥FB，

∵AB是⊙O的弦，

∴點B在⊙O上，

∴BF是⊙O的切線

（2）解：∵AC∥BF，

∴∠ACF=∠F，

∵CD=a，OA⊥CD，

∴CE= CD= a，

∵tanF= ，

∴tan∠ACF= = ，

即 = ，

解得AE= a，

連接OC，設圓的半徑為r，則OE=r﹣ a，

在Rt△OCE中，CE2+OE2=OC2，

即（ a）2+（r﹣ a）2=r2，

解得r= a；

（3）證明：連接BD，

∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已證），

∴∠DBG=∠F，

又∵∠FGB=∠BGF，

∴△BDG∽△FBG，

∴ = ，

即GB2=DGGF，

∴GF2﹣GB2=GF2﹣DGGF=GF（GF﹣DG）=GFDF，

即GF2﹣GB2=DFGF．

【解析】（1）根據等邊對等角可得∠OAB=∠OBA，然后根據OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，從而得到OB⊥FB，再根據切線的定義證明即可；（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ACF=∠F，根據垂徑定理可得CE= CD= a，連接OC，設圓的半徑為r，表示出OE，然后利用勾股定理列式計算即可求出r；（3）連接BD，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，從而求出△BDG和△FBG相似，根據相似三角形對應邊成比例列式表示出BG2 ， 然后代入等式左邊整理即可得證．