Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長；
（3）在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，求r的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，∵∠CBF=∠CFB，

∴CB=CF．

又∵AC=CF，

∴CB= AF，

∴△ABF是直角三角形，

∴∠ABF=90°，即AB⊥BF．

又∵AB是直徑，

∴直線BF是⊙O的切線

（2）解：如圖，連接DO，EO，

∵點D，點E分別是弧AB的三等分點，

∴∠AOD=60°．

又∵OA=OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴OA=AD=OD=5，∠OAD=60°，

∴AB=10．

∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°，BF=ABtan60°=10 ，即BF=10

（3）如圖，連接OC．則OC是Rt△ABF的中位線，

∵由（2）知，BF=10 ，

∴圓心距OC= ，

∵⊙O半徑OA=5．

∴ ＜r＜ ．

【解析】（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF；（2）根據圓心角、弧、弦間的關系，等邊三角形的判定證得△AOD是等邊三角形，所以在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠OAD=60°，AB=10，則利用∠A的正切三角函數的定義來求BF邊的長度；（3）根據已知條件知⊙O與⊙C相交．