Question

【題目】如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于E、F兩點，連結DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長度為4π．

（1）求證：DE∥BC；

（2）若AF=CE，求線段BC的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60.

【解析】（1）證明：如圖，連接OE、OD．

∵弧DE的長度為4π，⊙O的半徑r＝12，

∴，

∴n＝60，即∠EOD＝60°．

∵OE＝OD，∴∠EDO＝60°，∵AB與⊙O相切于點D，

∴∠ADO＝90°，∴∠ADE＝30°，

∵∠B＝30°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．

（2）如圖，作OG⊥AC于G，連接FO，

∴EG＝FG．

∵DE∥BC，∠C＝90°，∴∠FED＝90°，∴FD是⊙O的直徑，

∴，∵∠A＝60°，ED＝12，∠AED＝90°，

∴， ，

∵∠FDA＝90°，∴，

∴，∵AF＝CE，∴，

∴，∴．