Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，P是CD邊上的動點（P點不與C、D重合），過點P作直線與BC的延長線交于點E，與AD交于點F，且CP=CE，連接DE、BP、BF，設CP═x，△PBF的面積為S1 ， △PDE的面積為S2 ．

（1）求證：BP⊥DE．
（2）求S1﹣S2關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．
（3）分別求當∠PBF=30°和∠PBF=45°時，S1﹣S2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，延長BP交DE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，

∵CP=CE，

∴△BCP≌△DCE，

∴∠BCP=∠CDE，

∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，

∴∠CDE+∠DPM=90°，

∴∠DMP=90°，

∴BP⊥DE．

（2）解：由題意S1﹣S2= （4+x）x﹣ （4﹣x）x=x2（0＜x＜4）．
（3）解：①如圖2中，當∠PBF=30°時，

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，

∴∠PFD=∠DPF=45°，

∴DF=DP，∵AD=CD，

∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，

∴△BAF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP=30°，

∴x=PC=BCtan30°= ，

∴S1﹣S2=x2= ．

②如圖3中，當∠PBF=45°時，在CB上截取CN=CP，理解PN．

由①可知△ABF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP，

∵∠PBF=45°，

∴∠CBP=22.5°，

∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，

∴∠NBP=∠NPB=22.5°，

∴BN=PN= x，

∴ x+x=4，

∴x=4 ﹣4，

∴S1﹣S2=（4 ﹣4）2=48﹣32 ．

【解析】（1）首先延長BP交DE于M．然后依據SAS可證明△BCP≌△DCE，依據全等三角形的性質可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；
（2）根據題意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依據三角形的面積公式列出函數關系式即可；
（3）分當∠PBF=30°和∠PBF=45°兩種情形分別求出PC的長，最后再利用（2）中結論進行計算即可.
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．