Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為x=1，

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S，并求其最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）（3）當(dāng)0＜m≤時(shí)，S=﹣m2+3m；當(dāng)＜m＜3時(shí)，S=m2﹣3m+

【解析】試題分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸可知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為．

（2）分三種情況：①當(dāng)MA=MB時(shí)；②當(dāng)AB=AM時(shí)；③當(dāng)AB=BM時(shí)；三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）平移后的三角形記為△PEF．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得AB平移m個(gè)單位所得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．根據(jù)圖象，易知重疊部分面積有兩種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；討論可得用m的代數(shù)式表示S．

試題解析：（1）由題意可知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），則：，解得：．

故拋物線的解析式為．

（2）依題意：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），

①當(dāng)MA=MB時(shí)：，解得m=0，故M（0，0）；

②當(dāng)AB=AM時(shí)：，解得m=3（舍去）或m=﹣3，故M（0，﹣3）；

③當(dāng)AB=BM時(shí)，，解得，故M（0，）或M（0，）．

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，）、（0，）．

（3）平移后的三角形記為△PEF．設(shè)直線AB的解析式為，則：，解得：．

則直線AB的解析式為．

△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（）得到△PEF，易得直線EF的解析式為．

設(shè)直線AC的解析式為，則：，解得：，

則直線AC的解析式為．

連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．

在△AOB沿x軸向右平移的過程中．

①當(dāng)時(shí)，如圖1所示．

設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M．則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，

聯(lián)立，解得：，即點(diǎn)M（3﹣m，2m）．

故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM==．

②當(dāng)時(shí)，如圖2所示．

設(shè)PE交AB于K，交AC于H．因?yàn)?/span>BE=m，所以PK=PA=3﹣m，

又因?yàn)橹本�AC的解析式為，所以當(dāng)時(shí)，得，所以點(diǎn)H（，）．

故S=S△PAH﹣S△PAK=PAPH﹣PA2=．

綜上所述，．