Question

觀察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x²﹣1，
（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1，
（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1，
（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵﹣1，
（1）根據(jù)前面各式的規(guī)律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=　_________　（其中n為正整數(shù)）．
（2）根據(jù)（1）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值，并求出它的個位數(shù)字．

Answer 1

（1）xⁿ⁺¹﹣1   （2）5

試題分析：（1）根據(jù)各式的規(guī)律即可用n表示出結(jié)果；
（2）將所求式子乘以1，即2﹣1，利用上述規(guī)律即可得到結(jié)果；再由2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，個位數(shù)字分別為2，4，8，6循環(huán)，且64÷4=16，即可得出結(jié)果的個位數(shù)字．
解：（1）根據(jù)各式的規(guī)律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹﹣1；
（2）根據(jù)各式的規(guī)律得：1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=（2﹣1）（2⁶³+2⁶²+…+2³+2²+2+1）=2⁶⁴﹣1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，且64÷4=16，
∴2⁶⁴個位上數(shù)字為6，
則1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的個位數(shù)字為5．
故答案為：（1）xⁿ⁺¹﹣1．（2）5
點評：此題考查了平方差公式的應用，屬于規(guī)律型試題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．