Question

【題目】已知∠AOB＝150°，OC為∠AOB內部的一條射線，∠BOC＝60°．

（1）如圖1，若OE平分∠AOB，OD為∠BOC內部的一條射線，∠COD＝∠BOD，求∠DOE的度數；

（2）如圖2，若射線OE繞著O點從OA開始以15度/秒的速度順時針旋轉至OB結束、OF繞著O點從OB開始以5度秒的速度逆時針旋轉至OA結束，運動時間為t秒，當∠EOC＝∠FOC時，求t的值：

（3）若射線OM繞著O點從OA開始以15度秒的速度逆時針旋轉至OB結束，在旋轉過程中，ON平分∠AOM，試問2∠BON一∠BOM在某時間段內是否為定值，若不是，請說明理由；若是請補全圖形，求出這個定值并寫出t所在的時間段．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）

Answer 1

【答案】（1）35°．（2）當∠EOC＝∠FOC時，t＝3s或7.5s．（3）①當0＜t≤2時，2∠BON﹣∠BOM＝150°．當4＜t＜12時，2∠BON﹣∠BOM＝210°．

【解析】

（1）根據∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；

（2）分兩種情形列出方程即可解決問題；

（3）①當0＜t≤2時，2∠BON﹣∠BOM＝150°．②當4＜t＜12時，2∠BON﹣∠BOM＝210°．用t表示∠BON、∠BOM，求2∠BON一∠BOM的值即可；

解：（1）∵∠AOB＝150°，OE平分∠AOB，

∴∠EOB＝∠AOB＝75°，

∵∠BOC＝60°，∠COD＝∠BOD，

∴∠BOD＝40°，∠COD＝20°，

∴∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°．

（2）當OE在∠AOC內部時，∵∠EOC＝∠FOC，

∴90﹣15t＝60﹣5t，

∴t＝3．

當OE與OF重合時，15t+5t＝150°，

t＝7.5．

綜上所述，當∠EOC＝∠FOC時，t＝3s或7.5s．

（3）①當0＜t≤2時，2∠BON﹣∠BOM＝150°．

理由：∵∠AOM＝15t．∠AON＝∠MON＝7.5t，∠BON＝150°+7.5t，∠BOM＝150°+15t，

∴2∠BON一∠BOM＝2（150°+7.5t）﹣（150°+15t）＝150°

②當4＜t＜12時，2∠BON﹣∠BOM＝210°．

理由：∵∠AOM＝15t．∠AON＝∠MON＝7.5t，∠BON＝210°﹣7.5t，∠BOM＝210°﹣15t，

∴2∠BON一∠BOM＝2（210°﹣7.5t）﹣（210°﹣15t）＝210°（4＜t＜12）．