Question

【題目】如圖所示，，分別是正方形的邊，上的點，且，以為邊作正方形，與交于點，連接.

（1）求證：；

（2）若是的中點，求證：為的中點；

（3）連接，設，，，在（2）的條件下，判斷是否成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）由正方形的性質得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再由SAS即可證出△ADE≌△DCF；

（2）先證出，再證明，得出比例式，證出，即可得出結論；

（3）先證明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面積比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出結論．

（1）證明：由，，，得；

（2）證明：因為四邊形是正方形，

所以，所以.

又因為，所以.

因為，所以，

所以.

因為是的中點，所以，所以

因為，所以，即是的中點．

（3）解：成立．

理由：因為，所以，

所以.

因為，

所以，

所以.

所以，.

所以.

在中，由勾股定理，得，

所以，即.