Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，以BC為邊向外作正方形BCDE，動點M從A點出發，以每秒1個單位的速度沿著A→C→D的路線向D點勻速運動（M不與A、D重合）；過點M作直線l⊥AD，l與路線A→B→D相交于N，設運動時間為t秒：

（1）填空：當點M在AC上時，BN＝　 　（用含t的代數式表示）；

（2）當點M在CD上時（含點C），是否存在點M，使△DEN為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）過點N作NF⊥ED，垂足為F，矩形MDFN與△ABD重疊部分的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）BN＝2﹣t；（2）當t＝4﹣或t＝3或t＝2時，△DNE是等腰三角形；（3）當t＝時，S取得最大值．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質知AB＝2，MN＝AM＝t，AN＝﹣AM＝﹣t，據此可得；

（2）先得出MN＝DM＝4﹣t，BP＝PN＝t﹣2，PE＝4﹣t，由勾股定理得出NE＝，再分DN＝DE，DN＝NE，DE＝NE三種情況分別求解可得；

（3）分0≤t＜2和2≤t≤4兩種情況，其中0≤t＜2重合部分為直角梯形，2≤t≤4時重合部分為等腰直角三角形，根據面積公式得出面積的函數解析式，再利用二次函數的性質求解可得．

（1）如圖1，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，

∴∠A＝∠ABC＝45°，AB＝2，

∵AM＝t，∠AMN＝90°，

∴MN＝AM＝t，AN＝AM＝t，

則BN＝AB﹣AN＝

故答案為：

（2）如圖2，

∵AM＝t，AC＝BC＝CD＝2，∠BDC＝∠DBE＝45°，

∴DM＝MN＝AD﹣AM＝4﹣t，

∴DN＝DM＝（4﹣t），

∵PM＝BC＝2，

∴PN＝2﹣（4﹣t）＝t﹣2，

∴BP＝t﹣2，

∴PE＝BE﹣BP＝2﹣（t﹣2）＝4﹣t，

則NE＝,

∵DE＝2，

∴①若DN＝DE，則（4﹣t）＝2，解得t＝4﹣；

②若DN＝NE，則（4﹣t）＝，解得t＝3；

③若DE＝NE，則2＝，解得t＝2或t＝4（點N與點E重合，舍去）；

綜上，當t＝4﹣或t＝3或t＝2時，△DNE是等腰三角形．

（3）①當0≤t＜2時，如圖3，

由題意知AM＝MN＝t，

則CM＝NQ＝AC﹣AM＝2﹣t，

∴DM＝CM+CD＝4﹣t，

∵∠ABC＝∠CBD＝45°，∠NQB＝∠GQB＝90°，

∴NQ＝BQ＝QG＝2﹣t，

則NG＝4﹣2t，

∴

當t＝時，S取得最大值；

②當2≤t≤4時，如圖4，

∵AM＝t，AD＝AC+CD＝4，

∴DM＝AD﹣AM＝4﹣t，

∵∠DMN＝90°，∠CDB＝45°，

∴MN＝DM＝4﹣t，

∴S＝（4﹣t）2＝（t﹣4）2，

∵2≤t≤4，

∴當t＝2時，S取得最大值2；

綜上，當t＝時，S取得最大值．