Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c（b、c為常數）與x軸相交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸相交于點C，其對稱軸與x軸相交于點D，作直線BC．

（1）求拋物線的解析式．
（2）設點P為拋物線對稱軸上的一個動點．
①如圖①，若點P為拋物線的頂點，求△PBC的面積．
②是否存在點P使△PBC的面積為6？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c（b、c為常數）與x軸相交于點A（﹣1，0）、B（3，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：①∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴P（1，4），且C（0，﹣3），

設直線BC解析式為y=kx+m，則有 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

設對稱軸交BC于點E，如圖1，

則E（1，﹣2），

∴PE=﹣2﹣（﹣4）=2，

∴S△PBC= PEOB= ×3×2=3；

②設P（1，t），由①可知E（1，﹣2），

∴PE=|t+2|，

∴S△PBC= OBPE= |t+2|，

∴ |t+2|=6，解得t=2或t=﹣6，

∴P點坐標為（1，2）或（1，﹣6），

即存在滿足條件的點P，其坐標為（1，2）或（1，﹣6）

【解析】（1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式，可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；（2）①由拋物線解析式可求得P、C的坐標，可求得直線BC解析式，設對稱軸交直線BC于點E，則可求得E點坐標，可求得PE的長，則可求得△PBC的面積；②設P（1，t），則可用t表示出△PBC的面積，可得到t的方程，則可求得P點坐標．