Question

【題目】如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn) A的坐標(biāo)為（4，2），頂點(diǎn)B，C分別在軸，軸的正半軸上．

（1）求證：∠OCB＝∠ABE；

（2）求OC長(zhǎng)的取值范圍；

（3）若D的坐標(biāo)為（，），請(qǐng)說(shuō)明隨的變化情況．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）0＜OC≤2．（3）當(dāng)0＜≤2時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)2≤＜2時(shí)，隨的增大而減小．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠CBA=∠COB=90°，求出∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，即可得出答案；（2）過(guò)A作AF⊥x軸于F，證△COB∽△BEA，得出比例式，設(shè)OB=x，OC=y，則BE=4﹣x，求出y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，即可得出答案；（3）求出n=﹣（m﹣2）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出即可．

試題解析：

（1）證明：∵矩形ABCD，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BOC＝90°，

∴∠ABC＝∠BOC，

∵∠BOC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ABE，　

∴∠OCB＝∠ABE．

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥軸于F，

　　　　當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)F時(shí)，OC的長(zhǎng)最小，為0．

　　　　

設(shè)OB＝，OC＝，則BF＝4－．

　　　　∵AF⊥軸，

∴∠AFB＝90°．

∴∠BOC＝∠AFB＝90°．

∴△BOC∽△AEB．　　

∴．

∴．

∴．

∴OC的最大值為2．

∴OC的取值范圍是0＜OC≤2．　

（3）解：過(guò)點(diǎn)D作AH⊥軸于H．

由矩形的性質(zhì)易得△DHC≌△BFA．　

∴DH＝BF＝4－，

CH＝AF＝2．

∴，．

∴．

∵0≤＜4，

∴0＜≤4．

∴當(dāng)0＜≤2時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)2≤＜2時(shí)，隨的增大而減小．