Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，點F 是CD延長線上的一點，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點E.

⑴ 求證：AB＝AC.

⑵ 若BD＝11，DE＝2，求CD的長.

Answer 1

【答案】⑴ 證明見解析⑵ 7

【解析】試題分析：（1）同弧所對圓周角相等∠BCA=∠ADB,四邊形的外接圓性質，可以得∠ADF=∠ABC,利用AD平分∠BDF,可以得到AB=AC.

(2)試題解析：過A作BD的垂線于G，構造兩個全等三角形，

GD＝ED,BG＝CE ,可得CD長.

試題解析：

⑴ ∵ AD平分∠BDF ，

∴ ∠ADF＝∠ADB，

∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADF＝180°，

∴ ∠ADF＝∠ABC,

∵ ∠ACB＝∠ADB,

∴ ∠ABC＝∠ACB,

∴ AB＝AC .

⑵ 過點A作AG⊥BD，垂足為點G.

∵ AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD.

∴ AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，

在Rt△AED和Rt△AGD中,

,

∴ Rt△AED≌Rt△AGD（HL）,

∴ GD＝ED＝2,

在Rt△AEC和Rt△AGB中,

,

∴ Rt△AEC≌Rt△AGB（HL）,

∴ BG＝CE ,

∵ BD＝11,

∴ BG＝BD－GD＝11－2＝9 .

∴ CE＝BG＝9.

∴ CD＝CD－DE＝9－2＝7.