Question

【題目】如圖1，拋物線與直線（為常數,）交于A,B兩點，直線交軸于點C，點A的坐標為;

（1）若，則A點的坐標為__________，點B的坐標為____________

（2）已知點，拋物線與線段有兩個公共點，求的取值范圍；

（3）①如圖1，求證:

②如圖2，設拋物線的頂點為F，直線交拋物線的對稱軸于點，直線（為常數,）經過點A，并交拋物線的對稱軸于點E，若（為常數）則的值是否發生變化？若不變，請求出的值；若變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）①見解析，②P＝1不變

【解析】

（1）將a＝1，m＝3，代入y1，y2及點A，求出y1和y2，根據函數圖象上點的坐標特征及函數圖象交點坐標的求法求解即可；

（2）要使拋物線l1與線段MN有兩個公共點，需要滿足x＝0時，y≤4；x＝3時，y≤4，據此列不等式解出a即可；

（3）①通過A（m＋2，n）代入y1，y2求得B的坐標，再過點A，點B作x軸垂線，根據平行線分線段成比例定理，通過計算得到的值即可解決問題；

②已知點E的橫坐標為x＝2，則可以代入y3求得點E的坐標為（2，am2），過點A，點B作AG⊥FD于G，BH⊥FH于H，由①中點A，點B的坐標可求得tan∠AED＝tan∠BFD，即可得P為定值為1．

解：（1）把a＝1，m＝3，代入y1，y2得：，，

∵點A（m＋2，n）

∴把A（1，n）代入y1得：，

即A（1，9），

將點A代入y2得：9＝3（12）＋b，解得：b＝18，

故y2＝3（x2）18，

∵y1與y2交于A、B兩點，

∴3（x2）18＝（x2）2，

解得：x＝1或x＝8，

將x＝8代入y1得，y1＝（82）2＝36，

故B的坐標為（8，36），

故答案為：（1，9），（8，36）；

（2）由圖象可知a＜0，要使拋物線l1與線段MN有兩個公共點，

則，解得：a≤4；

（3）①將A（m＋2，n）代入y1得n＝am2，

同理，再將A（m＋2，am2）代入y2得b＝2am2，即y2＝am（x2）＋2am2，

令y2＝0，得點C坐標為（2m＋2，0）

∵y1與y2交于A、B兩點

∴a（x2）2＝am（x2）＋2am，

可令t＝x2，

又∵a≠0，

∴原方程可化為：at2＝amt＋2am，即t2＋mt2m＝0，

解得t＝m或t＝2m，

∴x2＝m或x2＝2m，

得x＝m＋2或x＝2m＋2，

將x＝2m＋2代入y1得y1＝a（2m＋22）2＝4am2，

故點B的坐標為（2m＋2，4am2）

分別過點A、B作x軸的垂線AM，BN．如圖1，

∵AM⊥x軸，BN⊥x軸，

∴AM∥BN

∴，

∵CM＝2m＋2（m＋2）＝m，MN＝（2m＋2）（m＋2）＝3m，

∴，

∴AB＝3AC；

②P值不變，

理由：由①知A（m＋2，am2），代入y3得，am2＝2am（m＋22）＋d，

解得d＝am2，

則y3＝2am（x2）am2，

∵y3與對稱軸x＝2交于點E，

∴點E的縱坐標為y3＝2am（22）am2＝am2，

∴點E的坐標為（2，am2），

如圖2，過點A，點B作AG⊥FD于G，BH⊥FH于H，

∵點B坐標為（2m＋2，4am2），

∴BH＝|2m＋22|＝|2m|，FH＝|4am2|，AG＝|m＋22|＝|m|，EG＝|am2am2|＝|2am2|，

∴tan∠AED＝，tan∠BFD＝，

∴tan∠AED＝tan∠BFD

∴p＝1不變．