Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊得中點(diǎn)位置時(shí)：

①通過(guò)測(cè)量DE、EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ．

②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ，請(qǐng)證明你的猜想．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；理由見(jiàn)解析；（2）DE=EF，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及N，E分別為AD，AB的中點(diǎn)可得DN=EB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，從而可證得△DNE≌△EBF，繼而證得結(jié)論；

（2）在DA邊上截取DN=EB，連結(jié)NE，點(diǎn)N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，通過(guò)證△DNE≌△EBF，從而得結(jié)論.

（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分別為AD，AB中點(diǎn)，

∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，在△DNE和△EBF中， ∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．

（2）DE=EF，理由如下：

在DA邊上截取DN=EB，連接NE，∵四邊形ABCD是正方形，DN=EB，∴AN=AE，∴△AEN為等腰直角三角形，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣45°=135°，∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠EBF=90°+45°=135°，∴∠DNE=∠EBF， ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF，在△DNE和△EBF中，∴△DNE≌△EBF（ASA）， ∴DE=EF．