Question

在平面直角坐標系xOy中，點的坐標是，過點作直線垂直軸，點是直線上異于點的一點，且.過點作直線的垂線，點在直線上，且在直線的下方，.設點的坐標為.

（1）判斷△的形狀，并加以證明；
（2）直接寫出與的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）延長交（2）中所求函數的圖象于點.求證：.

Answer 1

（1）△為等腰三角形；（2）；

試題分析：（1）由，，可得，由，可得到，即可得到，即可作出判斷；
（2）根據等腰三角形的性質結合函數圖象上的點的坐標的特征求解即可；
（3）過作于，于交直線于，由BC=OC可得，設，，則，，再分①當點在軸下方時，②當點在軸上方時，③當點在軸上時，三種情況，根據相似三角形的性質求解即可.
（1）△為等腰三角形

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴△為等腰三角形；
（2）與的函數關系式為；
（3）過作于，于交直線于.
∵C為拋物線上異于頂點的任意一點，且BC=OC，
∴．
設，,
則，.
①當點在軸下方時，

∵
∴.
∵∥，
∴△∽△．
∴．
∴
∴．
∴；
②當點在軸上方時，，.同理可證；

③當點在軸上時，.

∴.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．