Question

【題目】如圖1，在等邊三角形ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊三角形EDC，連接AE，

（1）求證：△DBC≌△EAC

（2）如圖1，令BC＝8，AC與DE交于點O，當AE⊥CE時，求AO的長．

（3）如圖2，當圖中的點D運動到邊BA的延長線上，所作△EDC仍為等邊三角形，且有AC⊥CE時，試猜想線段AE與線段CD的位置關系？并說明理由．（自己在圖中畫出圖形后解答）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）AE垂直平分線段CD，理由見解析

【解析】

（1）已知的條件有AC＝BC，CE＝CD，我們發現∠BCD和∠ACE都是60°減去一個∠ACD，因此兩三角形全等的條件就都湊齊了（SAS）．

（2）首先證明AE∥BC，解直角三角形求出AE，OA即可解決問題．

（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通過先證明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC＝∠B＝60°，又由∠ABC＝∠ACB＝60°，得出這兩條線段之間的內錯角相等，從而得出平行的結論．

解：（1）證明：如圖1中，

∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°

∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD

∴∠BCD＝∠ACE

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

解：（2）∵△DBC≌△EAC

∴∠EAC＝∠B＝60°

又∠ACB＝60°

∴∠EAC＝∠ACB

∴AE∥BC，

∵EC⊥AE，

∴∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，

∴AE＝AC＝4，

∴∠DEC＝60°，

∴∠AEO＝30°，

∵∠EAO＝60°，

∴∠AOE＝180°﹣∠AEO﹣∠EAO＝90°，'

∴OA＝AE＝2．

（3）結論：AE垂直平分線段CD．

理由：如圖2中，設AE交CD于O．

∵△ABC、△EDC為等邊三角形

∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°

∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC＝∠B＝60°

又∵∠ACB＝60°

∴∠EAC＝∠ACB＝60°，

∵EC⊥AC，

∴∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°﹣60°＝30°，

∵∠DEC＝60°，

∴∠DEO＝∠CEO＝30°，

∵ED＝EC，

∴EA垂直平分線段CD．