Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交的于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點（P不與C，B兩點重合），過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．

①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系式；當m為何值時，S有最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；（2）①PF=﹣m2+3m，當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；②S=﹣m2+m（0＜m＜3），當m=時，S取得最大值．

【解析】

試題分析：（1）對于拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標，令x=0求出y的值確定出C的做準備，進而求出對稱軸即可；（2）①根據B與C坐標，利用待定系數法確定出直線BC解析式，進而表示出E與P坐標，根據拋物線解析式確定出D與F坐標，表示出PF，利用平行四邊形的判定方法確定出m的值即可；②連接BF，設直線PF與x軸交于點M，求出OB的長，三角形BCF面積等于三角形BFP面積加上三角形CFP面積，列出S關于m的二次函數解析式，利用二次函數性質確定出S取得最大值時m的值即可．

試題解析：（1）對于拋物線y=﹣x2+2x+3，

令x=0，得到y=3；

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x=﹣1或x=3，

則A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；

（2）①設直線BC的函數解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當x=1時，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

當x=m時，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3），

令y=﹣x2+2x+3中x=1，得到y=4，

∴D（1，4），

當x=m時，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3），

∴線段DE=4﹣2=2，

∵0＜m＜3，

∴yF＞yP，

∴線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

連接DF，由PF∥DE，得到當PF=DE時，四邊形PEDF為平行四邊形，

由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），

則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；

②連接BF，設直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，

∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB，

∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0＜m＜3），

則當m=時，S取得最大值．