Question

【題目】如圖，頂點為A的拋物線y=a（x+2）2﹣4交x軸于點B（1，0），連接AB，過原點O作射線OM∥AB，過點A作AD∥x軸交OM于點D，點C為拋物線與x軸的另一個交點，連接CD．

（1）求拋物線的解析式、直線AB的解析式；

（2）若動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段OD向點D運動，同時動點Q從點C出發，以每秒2個單位長度的速度沿線段CO向點O運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．

問題一：當t為何值時，△OPQ為等腰三角形？

問題二：當t為何值時，四邊形CDPQ的面積最小？并求此時PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）PQ=

【解析】

試題分析：（1）把點B坐標代入拋物線解析式即可求出a的值，寫出頂點A的坐標，運用待定系數法即可求出直線AB的解析式；

（2）問題一，先用t表示OQ，OP的長度，再分類列出方程求解即可得出t的值，問題二：寫出四邊形面積關于t的二次函數，求最大值即可．

試題解析：（1）由頂點為A的拋物線y=a（x+2）2﹣4交x軸于點B（1，0）可得：

0=a（1+2）2﹣4，解得：a=，

∴拋物線的解析式：，

頂點A（﹣2，﹣4），

設直線AB：y=bx+k，帶入點A，B兩點坐標得：，

解得：，

∴直線AB的解析式：，

（2）如圖：

∵OD∥AB，所以得直線OD：，

∵AD∥x軸，解得點D（﹣3，﹣4），

解得OD=5，tan∠COD=，sin∠COD=，cos∠COD=，

把y=0帶入拋物線解析式得： ，

解得：x=1，或x=﹣5，

所以點C（﹣5，0），

∴OC=5，

由2t≤5，得t≤2.5，

OP=t，OQ=5﹣2t，

當OP=OQ時，有：t=5﹣2t，解得t=，

當OQ=QP時，有：t=2（5﹣2t）×，解得t=，

當QP=OP時，有：5﹣2t=2t×，解得t=，

綜上所述，當t為，，時，△OPQ為等腰三角形；

四邊形CDPQ的面積==×5×4﹣×（5﹣2t）×t×=，

所以當時，四邊形CDPQ的面積有最小值，

此時，OQ=，OP=，sin∠COD=，cos∠COD=，

可求得PQ=．