Question

【題目】以的各邊，在邊的同側(cè)分別作三個正方形．他們分別是正方形，，，試探究：

如圖中四邊形是什么四邊形？并說明理由．

當滿足什么條件時，四邊形是矩形？

當滿足什么條件時，四邊形是正方形？

Answer 1

【答案】四邊形是平行四邊形，理由見解析；當時，平行四邊形是矩形；當且時，四邊形是正方形．

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對應邊DE=AG．然后利用正方形對角線的性質(zhì)、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180°，易證ED∥GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結(jié)論；
（2）根據(jù)“矩形的內(nèi)角都是直角”易證∠DAG=90°．然后由周角的定義求得∠BAC=135°；
（3）由“正方形的內(nèi)角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性質(zhì)證得，AC=AB．

圖中四邊形是平行四邊形．理由如下：

∵四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，

∴，，，．

∴（同為的余角）．

在和中，

，

∴，

∴，．

∵是正方形的對角線，

∴．

∵，

∴

∴，

∴四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．

當四邊形是矩形時，．

則，

即當時，平行四邊形是矩形；

當四邊形是正方形時，，且．

由知，當時，．

∵四邊形是正方形，

∴．

又∵四邊形是正方形，

∴，

∴．

∴當且時，四邊形是正方形．