Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，PE、PF分別交AB、AC于點E、F．給出以下四個結論：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③ 2S四邊形AEPF＝S△ABC；④EF＝PC．上述結論正確的有 （ ）．

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

證明△AEP≌△CFP，從而得到①，證明△APF≌△BPE，繼而判定△EPF是等腰直角三角形，從而得到②，根據S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF，經過推導得出③，只有當EF是中位線時EF=CP才成立，從而判斷④不一定正確，據此即可得答案.

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，

∴AP=PC=PB，∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，

∴∠APB=∠APC=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠APE=∠CPF=90°-∠APF，

在△AEP和△CFP中，

，

∴△AEP≌△CFP，

同理△APF≌△BPE，

∴AE=CF，PE=PF，

∴△EPF是等腰直角三角形，

∴S△AEP=S△CPF，

∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF，

=S△CPF+S△APF，

=S△APC，

=S△ABC，

即2S四邊形AEPF＝S△ABC；

只有當EF為中位線時才有EF＝CP，其余情況下都不相等，

∴①②③正確，④錯誤，

即正確的有3個，

故選C．