Question

如圖所示，直線y=x+1與y軸交于點A₁，以OA₁為邊作正方形OA₁B₁C₁，然后延長C₁B₁與直線y=x+1交于點A₂，得到第一個梯形A₁OC₁A₂；再以C₁A₂為邊作正方形C₁A₂B₂C₂，同樣延長C₂B₂與直線y=x+1交于點A₃得到第二個梯形A₂C₁C₂A₃；再以C₂A₃為邊作正方形C₂A₃B₃C₃，延長C₃B₃，得到第三個梯形；…則第2個梯形A₂C₁C₂A₃的面積是______；第n（n是正整數）個梯形的面積是______（用含n的式子表示）．

Answer 1

由直線y=x+1知：A₁（0，1），即OA₁=A₁B₁=1，
∴A₂的坐標為（1，2）或（2¹-1，2^2-1）；
∵A₂的坐標為：（1，2），即A₂C₁=2，
∴A₃的坐標為：（1+2，4），即（3，4）或（2²-1，2²）；
∴S_{梯形A2C1C2A3}=

(2+4)×2

2

=6．
∵A₃的坐標為：（3，4），即A₃C₂=4，
∴的A₄坐標為：（1+2+4，8），即（7，8）或（2³-1，2³）；
依此類推，點A_n的坐標應該為（2^n-1-1，2^n-1）．
∴S_{第n（n是正整數）個梯形}=

(2n-1+2n)2n-1

2

．
故答案為6，

(2n-1+2n)2n-1

2

．