Question

【題目】如圖1，直線y=﹣ x+8，與x軸、y軸分別交于點A、C，以AC為對角線作矩形OABC，點P、Q分別為射線OC、射線AC上的動點，且有AQ=2CP，連結PQ，設點P的坐標為P（0，t）．

（1）求點B的坐標．
（2）若t=1時，連接BQ，求△ABQ的面積．
（3）如圖2，以PQ為直徑作⊙I，記⊙I與射線AC的另一個交點為E．

①若 = ，求此時t的值．
②若圓心I在△ABC內部（不包含邊上），則此時t的取值范圍為是多少?

Answer 1

【答案】
（1）解：將x=0代入y=﹣ x+8，得y=8，∴C（0，8），

將y=0代入y=﹣ x+8，得x=6，∴A（6，0），

∵四邊形OABC是矩形，∴B（6，8）

（2）解：如圖1，

作QH⊥AB于H，當t=1時，CP=7，AQ=14，

易證AC=10，sin∠BAC= ，

∴QH=AQsin∠BAC= ，

∴S△ABQ= ；

（3）解：分類：Ⅰ、如圖2，

當P在線段OC上，Q在線段AC上時，即3＜＜8時，

易證 =sin∠EQP=sin∠ACO= ，∴∠EQP=∠ACO，∴CP=PQ，

∵PE⊥CQ，∴CE=EQ，∴2× （8﹣t）=10﹣（16﹣2t），解得t1= ，

Ⅱ、當Q與C重合，P在OC上時，如圖3，

可得16﹣2t=10，解得t2=3，

Ⅲ、當Q與C重合，P在OC延長線上時，如圖4，

可得2t﹣16=10，解得t3=13，

Ⅳ、當P在OC延長線上，Q在AC延長線上時，如圖5，

同Ⅰ，可得∠Q=∠PCQ，

∴CP=PQ，∴ （2t﹣16﹣10）= （t﹣8），解得t4=33，

∴t= 或3或13或33；

②當圓心I在邊AC上時，如圖6，P與C重合，Q與A重合，

∴OP=t=8，

當圓心I在邊BC上時，設⊙I與x軸交于F，連接FQ，

∵PQ是直徑，

∴QF⊥x軸，

∴FQ∥OA，CP=CF=t﹣8，

∴△CQF∽△ACO，

∴ = ，即 = ，

∴t= ，

∴若圓心I在△ABC內部（不包含邊上），則此時t的取值范圍為8＜t＜ ，

故答案為：8＜t＜

【解析】（1）將x=0代入y=﹣ x+8，得y=8，將y=0代入y=﹣ x+8，得x=6，于是得到結論；（2）如圖1，作QH⊥AB于H，當t=1時，CP=7，AQ=14，解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC= ，根據三角形的面積公式即可得到結論；（3）Ⅰ、如圖2，當P在線段OC上，Q在線段AC上時，解直角三角形得到解得t1= ，Ⅱ、當Q與C重合，P在OC上時，如圖3，解得t2=3，Ⅲ、當Q與C重合，P在OC延長線上時，如圖4，解得t3=13，Ⅳ、當P在OC延長線上，Q在AC延長線上時，如圖5，同Ⅰ，解得t4=33；②當圓心I在邊AC上時，如圖6，P與C重合，Q與A重合，求得OP=t=8，當圓心I在邊BC上時，設⊙I與x軸交于F，連接FQ，根據相似三角形的性質得到t= ，于是得到結論．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．