Question

一家圖文廣告公司制作的宣傳畫板頗受商家歡迎，這種畫板的厚度忽略不計，形狀均為正方形，邊長在10～30dm之間．每張畫板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：dm²）成正比例，每張畫板的出售價（單位：元）由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與畫板的大小無關，是固定不變的．浮動價與畫板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數據．

畫板的邊長（dm）	10	20
出售價（元/張）	160	220

（1）求一張畫板的出售價與邊長之間滿足的函數關系式；
（2）已知出售一張邊長為30dm的畫板，獲得的利潤為130元（利潤＝出售價－成本價），
①求一張畫板的利潤與邊長之間滿足的函數關系式；
②當邊長為多少時，出售一張畫板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

(1)y＝6x＋100；（2）W＝－x²＋6x＋100，154.

試題分析：（1）每張畫板的成本價與它的面積成正比例，可設其解析式為y成本價=ax²，每張畫板的出售價由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與畫板的大小無關，是固定不變的．浮動價與畫板的邊長成正比例．可設y出售價=kx+b.把表中數據代入即可求出結論；
（2）由y利潤=y出售價-y成本價，可得出二次函數，求出其最大值即可.
試題解析：（1）設正方形畫板的邊長為xdm，出售價為每張y元，且y＝kx＋b（k≠0） （1分）
由表格中的數據可得，，解得
從而一張畫板的出售價y與邊長x之間滿足函數關系式y＝6x＋100
（2）設每張畫板的成本價為ax²，利潤W＝6x＋100－ax²
當x＝30時，W＝130，180＋100－900a＝130，得a＝
一張畫板的利潤W與邊長x之間滿足函數關系式W＝－x²＋6x＋100
由W＝－16(x－18)2＋154，知當x＝18時，W有最大值，W最大＝154
因此當正方形畫板的邊長為18dm時，可獲最大利潤154元.
考點: 1.一次函數表達式；2.二次函數表達式；3.二次函數的最大值.