Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+2過B（﹣2，6），C（2，2）兩點．

（1）試求拋物線的解析式；
（2）記拋物線頂點為D，求△BCD的面積；
（3）若直線y=﹣ x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B、C）部分有兩個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意 解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣x+2．

（2）

解：∵y= x2﹣x+2= （x﹣1）2+ ．

∴頂點坐標（1， ），

∵直線BC為y=﹣x+4，∴對稱軸與BC的交點H（1，3），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 3+ 1=3．

（3）

解：

由 消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，

當△=0時，直線與拋物線相切，1﹣4（4﹣2b）=0，

∴b= ，

當直線y=﹣ x+b經過點C時，b=3，

當直線y=﹣ x+b經過點B時，b=5，

∵直線y=﹣ x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B、C）部分有兩個交點，

∴ ＜b≤3．

【解析】（1）根據待定系數法即可解決問題．（2）求出直線BC與對稱軸的交點H，根據S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解決問題．（3）由 ，當方程組只有一組解時求出b的值，當直線y=﹣ x+b經過點C時，求出b的值，當直線y=﹣ x+b經過點B時，求出b的值，由此即可解決問題．本題考查待定系數法確定二次函數解析式、二次函數性質等知識，解題的關鍵是求出對稱軸與直線BC交點H坐標，學會利用判別式確定兩個函數圖象的交點問題，屬于中考常考題型．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．