Question

（2008•淮安）如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數y=a（x-2）²-1圖象的頂點為P，與x軸交點為A、B，與y軸交點為C，連接BP并延長交y軸于點D．
（1）寫出點P的坐標；
（2）連接AP，如果△APB為等腰直角三角形，求a的值及點C、D的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BC、AC、AD，點E（0，b）在線段CD（端點C、D除外）上，將△BCD繞點E逆時針方向旋轉90°，得到一個新三角形．設該三角形與△ACD重疊部分的面積為S，根據不同情況，分別用含b的代數式表示S，選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結果；判斷當b為何值時，重疊部分的面積最大寫出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的頂點式解析式可得出P的坐標為（2，-1）．
（2）如果△APB是等腰直角三角形，那么根據P的縱坐標不難得出AB=2，根據對稱軸x=2可得出A，B的坐標分別為（1，0）（3，0）．然后可根據A，B的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．也就能得出a的值和C點的坐標．
求D點坐標時，可根據∠ABP=45°，即三角形OBD是等腰直角三角形來解．此時OB=OD，B點的橫坐標的絕對值就是D點的縱坐標的絕對值，由此可得出D的坐標．
（3）當旋轉后A在C′D′上時，E點和O重合此時b=0；當旋轉后A在B′D′上時，此時可求得OE=1，即b=-1．因此可分三種情況進行討論：
①當0≤b＜3時，旋轉后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分是個三角形，如果設C′D′與AC交于M，那么重疊部分就是△CEM的面積．可先求出EM的長，然后再根據三角形的面積公式得出S，b的函數關系式．
②當-1＜b＜0時，旋轉后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分是五邊形，由于五邊形不是規則的圖形，因此可先根據AC，D′B′，AD的直線的解析式求出旋轉后得出的三角形與ACD的各邊的交點的坐標，然后根據其他規則圖形的面積的“和，差”關系來求出五邊形的面積，即可得出S，b的函數關系式．
③當-3＜b≤-1時，旋轉后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為四邊形，可仿照②的解法求出此時S，b的函數關系式．
綜上所述可得出b的不同取值范圍內，S，b的函數關系式，然后根據得出的函數的性質即可得出S的最大值．
解答：解：（1）P（2，-1）

（2）因為△APB為等腰直角三角形，P點坐標為（2，-1）
所以AB=2，
所以A（1，0），B（3，0）
將A點坐標代入二次函數y=a（x-2）²-1得：
0=a（1-2）²-1，
所以a=1
所以二次函數為：y=x²-4x+3
所以C（0，3），
所以OC=OB，∠OBC=45°
又因為∠ABP=45°，
所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
所以△BCD為等腰直角三角形，
所以D（0，-3）；

（3）①當0≤b＜3時，旋轉后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為△CEM．

因為CE=C’E，
所以C點恰好在直線B′C′上，
CE=3-b，AC直線方程為：y=3-3x，
E（0，b）所以EM=
所以重疊部分△CEM的面積為：
S=×（3-b）×=（0≤b＜3）；
②當-1＜b＜0時，旋轉后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為五邊形EMANQ，
因為ED=ED′=EQ，
所以D’點恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
CQ=3-（3+2b）=-2b，
AC直線方程為：y=3-3x，
AD直線方程為：y=3x-3，
D’Q直線方程為：y=3+2b-x，
所以EM=，N（-b，3+3b）
所以重疊部分五邊形EMANQ的面積為：
S=S_△ACD-S_△CQN-S_△EMD
=×6×1-×（-2b）×（-b）-×（3+b）×
=（-1＜b＜0）；
③當-3＜b≤-1時，旋轉后的△B’C’D’與△ACD的重疊部分為四邊形EMNQ；
因為ED=ED’=EQ，
所以D′點恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
AD直線方程為：y=3x-3，
D′Q直線方程為：y=3+2b-x，
所以EM=，N（，），
所以重疊部分四邊形EMNQ的面積為：
S=S_△DNQ-S_△EMD=-=（-3＜b≤1），
所以重疊部分的面積為：，
當0≤b＜3時，b=0時，S最大，且S最大=，
當-1＜b＜0時，S==-，
b=-時，S最大，且S最大=，
當-3＜b≤-1時，b=-1時，S最大，且S最大=，
綜上所述：當b=-時，S最大=．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．