Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx﹣2 與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0）．點M、N在x軸上，點N在點M右側，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設點M的橫坐標為m．

（1）求這條拋物線所對應的函數關系式．
（2）求點C在這條拋物線上時m的值．
（3）將線段CN繞點N逆時針旋轉90°后，得到對應線段DN．
①當點D在這條拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標．
②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當點E在這條拋物線的對稱軸上時，直接寫出所有符合條件的m值．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為）

Answer 1

（1）。
（2）m的值為或。
（3）①點D的坐標為（，﹣2）。
②m的值為m=或m=或m=或m=。

試題分析：（1）將A（﹣1，0）、B（4，0）兩點的坐標代入y=ax²+bx﹣2，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式。
∵拋物線y=ax²+bx﹣2經過點A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，解得。
∴拋物線所對應的函數關系式為。
（2）根據等腰直角三角形的性質求出點C的坐標為（m，2），再將C的坐標代入，即可求出m的值。
∵△CMN是等腰直角三角形，∠CMN=90°，∴CM=MN=2。∴點C的坐標為（m，2）。
∵點C（m，2）在拋物線上，∴。
解得m₁=，m₂=。
∴點C在這條拋物線上時，m的值為或。
（3）①先由旋轉的性質得出點D的坐標為（m，﹣2），根據二次函數的性質求出拋物線的對稱軸為直線x=，然后根據點D在直線x=上，即可求出點D的坐標。
②如圖，以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，E點的位置有四種情況：

如果E點在E₁的位置時，
∵點D的坐標為（m，﹣2），MN=ME₁=2，點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₁的（m﹣2，0）。
∵點E₁在拋物線的對稱軸x=上，
∴m﹣2=，解得m=。
如果E點在E₂的位置時，
∵點D的坐標為（m，﹣2），點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₂的（m+2，﹣4）。
∵點E₂在拋物線的對稱軸x=上，∴m+2=，解得m=。
如果E點在E₃的位置時，
∵點D的坐標為（m，﹣2），∴點E₃的（m，2）。
∵點E₃在拋物線的對稱軸x=上，∴m=。
如果E點在E₄的位置時，
∵點D的坐標為（m，﹣2），點N的坐標為（m+2，0），∴點E₄的（m+4，﹣2）。
∵點E₄在拋物線的對稱軸x=上，∴m+4=，解得m=。
綜上可知，當點E在這條拋物線的對稱軸上時，所有符合條件的m的值為m=或m=或m=或m=。