Question

（2013年四川綿陽12分）如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．

（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer 1

解：（1）∵點E是AB的中點，OA=2，AB=4，∴點E的坐標為（2，2）。
將點E的坐標代入，可得k=4。
∴反比例函數解析式為：。
∵點F的橫坐標為4，∴點F的縱坐標。
∴點F的坐標為（4，1）。
（2）結合圖形可設點E坐標為（，2），點F坐標為（4，），
則CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，
在Rt△CDF中，。
由折疊的性質可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED。
又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF。
∴，即。
∴=1，解得：k=3。

（1）根據點E是AB中點，可求出點E的坐標，將點A的坐標代入反比例函數解析式可求出k的值，再由點F的橫坐標為4，可求出點F的縱坐標，繼而得出答案。
（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設點E坐標為（，2），點E坐標為（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用對應邊成比例可求出k的值。