Question

【題目】如圖，O是等邊三角形ABC內一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝m°，D是△ABC外一點，且△ADC≌△BOC，連接OD．當m為_____時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】110或125或140．

【解析】

根據全等三角形的性質得到∠OCB=∠DCA，CO=CD，證明∠DCA+∠ACO=60°，根據等邊三角形的判定定理證明△COD是等邊三角形，然后分AD=AO、DA=DO、OD=AO三種情況，根據等腰三角形的性質，三角形內角和定理計算．

∵△ADC≌△BOC，

∴∠ADC=∠BOC=m°，∠OCB=∠DCA，CO=CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，即∠OCB+∠ACO=60°，

∴∠DCA+∠ACO=60°，又CO=CD，

∴△COD是等邊三角形，

∴∠COD=∠CDO=60°；

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-m°-60°=190°-m°，

∠ADO=∠ADC-∠CDO=m°-60°，

∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（m°-60°）-（190°-m°）=50°，

若AD=AO，則∠ADO=∠AOD，即m°-60°=190°-m°，

解得：m°=125°；

若OA=OD，則∠ADO=∠OAD，則m°-60°=50°，

解得：m°=110°；

若DA=DO，則∠OAD=∠AOD，即50°=190°-m°，

解得：m°=140°；

綜上所述，當m為125或110或140時，△AOD是等腰三角形，

故答案為110或125或140．