Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長，交BC于點D，則下列說法中，正確的個數是( )

①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】試題解析：：①根據作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．

故①正確；

②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．

故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴點D在AB的中垂線上．

故③正確；

④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=ACCD=ACAD．

∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD，

∴S△DAC：S△ABC=ACAD： ACAD=1：3．

故④正確．

綜上所述，正確的結論是：①②③④，共有4個．

故選D．