Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB為直徑的⊙O交AB于點D，點E為BC的中點，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD、BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠CDB=90°；

又∵點E為BC的中點，

∴BE=DE，

∴∠BDE=∠EBD；

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA；

又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，

∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；

∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，

又∵點D在⊙O上，

∴DE是圓⊙O的切線．

（2）解：由（1）知BC=2DE=6，

又∵∠CBD=∠BAC=30°，

∴CD=3，BD=3

∴AB=6 ；

由勾股定理得：AD=9.

【解析】（1）連接OD、BD，由圓周角定理得∠ADB=∠CDB=90°；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，依此得BE=DE，再由等腰三角形的性質得 ∠BDE=∠EBD；∠OAD=∠ODA； 根據同角的余角相等和等量代換得∠ODA=∠BDE；由此得出∠ODE=90°，即DE是圓⊙O的切線．

（2）由（1）知BC=2DE=6，在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，即CD=3，根據勾股定理得BD=3 ，再由在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得AB=6 ，由勾股定理得：AD=9.