Question

【題目】已知拋物線y＝x2+（2n﹣1）x+n2﹣1（n為常數(shù)）．

（1）當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)A是（1）所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對(duì)稱軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．

①當(dāng)BC＝1時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；

②試問矩形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）①矩形ABCD的周長(zhǎng)為6，②當(dāng)x＝時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)C最大值為，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（，）．

【解析】

（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出n的值，然后根據(jù)拋物線頂點(diǎn)在第四象限將不合題意的n值舍去，即可得出所求的二次函數(shù)解析式；

（2）①先根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線與x軸另一交點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和矩形的對(duì)稱性可知：OB的長(zhǎng)，就是OE與BC的差的一半，由此可求出OB的長(zhǎng)，即B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就得出了矩形AB邊的長(zhǎng)．進(jìn)而可求出矩形的周長(zhǎng)；②思路同①可設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式表示縱坐標(biāo)），也就能表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OB的長(zhǎng)，同①可得出BC的長(zhǎng)，而AB的長(zhǎng)就是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，由此可得出一個(gè)關(guān)于矩形周長(zhǎng)和A點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出矩形周長(zhǎng)的最大值及對(duì)應(yīng)的A的坐標(biāo)．

（1）由已知條件，得n2﹣1＝0

解這個(gè)方程，得n1＝1，n2＝﹣1

當(dāng)n＝1時(shí)，得y＝x2+x，此拋物線的頂點(diǎn)不在第四象限．

當(dāng)n＝﹣1時(shí)，得y＝x2﹣3x，此拋物線的頂點(diǎn)在第四象限．

∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2﹣3x；

（2）由y＝x2﹣3x，

令y＝0，得x2﹣3x＝0，

解得x1＝0，x2＝3

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（3，0）

∴它的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，其大致位置如圖所示，

①∵BC＝1，易知OB＝×（3﹣1）＝1．

∴B（1，0）

∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x＝1，又點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣3x上，

∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y＝12﹣3×1＝﹣2．

∴AB＝|y|＝|﹣2|＝2．

∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為：2（AB+BC）＝2×（2+1）＝6．

②∵點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣3x上，故可設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x2﹣3x），

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0）．

∴BC＝3﹣2x，A在x軸下方，

∴x2﹣3x＜0，

∴AB＝|x2﹣3x|＝3x﹣x2

∴矩形ABCD的周長(zhǎng)C＝2[（3x﹣x2）+（3﹣2x）]＝，

∵a＝﹣2＜0，拋物線開口向下，二次函數(shù)有最大值，

∴當(dāng)x＝時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)C最大值為．

此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A．