Question

【題目】定義：若兩條拋物線在x軸上經過兩個相同點，那么我們稱這兩條拋物線是“同交點拋物線”，在x軸上經過的兩個相同點稱為“同交點”，已知拋物線y=x2+bx+c經過(﹣2，0)、(﹣4，0)，且一條與它是“同交點拋物線”的拋物線y=ax2+ex+f經過點(﹣3，3)．

（1）求b、c及a的值；

（2）已知拋物線y=﹣x2+2x+3與拋物線yn=x2﹣x﹣n（n為正整數）

①拋物線y和拋物線yn是不是“同交點拋物線”？若是，請求出它們的“同交點”，并寫出它們一條相同的圖像性質；若不是，請說明理由．

②當直線y=x+m與拋物線y、yn，相交共有4個交點時，求m的取值范圍．

③若直線y=k（k<0）與拋物線y=﹣x2+2x+3與拋物線yn =x2﹣x﹣n （n為正整數）共有4個交點，從左至右依次標記為點A、點B、點C、點D，當AB=BC=CD時，求出k、n之間的關系式

Answer 1

【答案】(1)，，；(2)①是“同交點拋物線”，“同交點”為：(–1，0)、(3，0)，它們圖形共同性質有：對稱軸同為直線；②，且，；③

【解析】

(1)將(–2，0)、( –4，0)代入，即可求得b、c的值，設“同交點拋物線”的解析式為，將(–3，3)代入即可求得的值；

(2)①令和，分別求得與軸的交點坐標，即可作出判斷；

②先求得直線與拋物線或拋物線只有一個交點時的值，除去直線經過“同交點”時的的值，即可求解；

③由和利用根與系數的關系求得和的值，再根據，得到即可求得答案．

(1) ∵拋物線經過(–2，0)、( –4，0)，則代入得：，

解得：，，

設“同交點拋物線”的解析式為，

將(–3，3)代入得：，

解得：，

故答案為：，，；

(2)①令，則，

解得：，

∴拋物線與軸的交點坐標為：(–1，0)、(3，0)，

令，則，

解得：，

∴拋物線與軸的交點坐標為：(–1，0)、(3，0)，

∴拋物線和拋物線是“同交點拋物線”，

它們圖形共同性質：對稱軸同為直線；

②當直線與拋物線y相交只有1個交點時，

由，得：，

由，

解得：，

拋物線的頂點坐標為(1，)，其中為正整數，

因為隨著的增大，的頂點縱坐標減小，所以當直線與拋物線中時的拋物線相交只有1個交點時，

由，得：，

由，

解得：，

如圖所示：

當直線經過“同交點”時與兩拋物線只有三個交點，

把“同交點”(–1，0)代入得：，

把“同交點” (3，0)代入得：，

∴當直線與拋物線、有4個交點時，m的取值范圍為：

，且，；

③設直線分別與拋物線和拋物線相交于A、D、B、C，如圖：

由，得：，

∵，，

∴，

由，得：，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

整理得：．