Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為，與軸的交點與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是直線下方拋物線上的一點，過點作的平行線交拋物線于點（點在點右側），連結、，當的面積為面積的一半時，求點的坐標；

（3）現將該拋物線沿射線的方向進行平移，平移后的拋物線與直線的交點為、（點在點的下方），與軸的右側交點為，當與相似，求出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由對稱性求得點，待定系數即可求得二次函數解析式；

（2）由題可知，設出直線的方程，聯立二次函數的解析式，由韋達定理即可容易求得.

（3）由平移的性質，結合，求得的方程組，求解即可.

解：（1）由對稱性可知，

設拋物線解析式為，

代入，得，

∴；

（2）由平行線間距離處處相等可知，

當的面積為面積的一半時，，

∵，∴，

即，

∵直線的解析式為，，

設直線的解析式為，

則，，

聯立，得，則，

∵，

∴，，

∴點

（3）由，，得直線的解析式為，

設點坐標為，由平移的性質可知：，

平移距離為，∴，

當與相似，只有，

∴，

過點作的平行線，交原拋物線于點，連結，

四邊形為平行四邊形，點的縱坐標為，

設點的橫坐標為，則點坐標，

∴，①

將點代入，得：

，②

聯立方程①②，解得：，

，（舍去負值），

∴．