Question

【題目】閱讀下面材料：
小天在學習銳角三角函數中遇到這樣一個問題：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，則tan22.5°=

小天根據學習幾何的經驗，先畫出了幾何圖形（如圖1），他發現22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若構造有特殊角的直角三角形，則可能解決這個問題．于是小天嘗試著在CB邊上截取CD=CA，連接AD（如圖2），通過構造有特殊角（45°）的直角三角形，經過推理和計算使問題得到解決．
請回答：tan22.5°= ．
參考小天思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，請借助△ABC，構造出15°的角，并求出該角的正切值．

Answer 1

【答案】 ﹣1；解: 如圖3,延長BA到D,使AD=AB,則AB=AD=AC,∴∠D=∠ACD,∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°, ∴∠D=15°,作CH⊥AB于H,設CH=x,則AC=2x,AH= x,∴AD=AC=2x,∴DH=AD+AH=（2+ ）x,在Rt△DCH中,tanD= ,即tan15°=2﹣
【解析】如圖2，設CD=CA=a，則AD= a，

∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，

∴∠DAB=22.5°，

∴∠DAB=∠B，

∴DB=DA= a，

∴BC=BD+CD=（ +1）a，

在Rt△ABC中，tanB= ，

即tan22.5°= ﹣1；

【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的外角(三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)，還要掌握銳角三角函數的定義(銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數)的相關知識才是答題的關鍵．