Question

【題目】閱讀材料： 小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進行了以下探索：

設（其中均為整數），則有 ．

∴．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示，得 ＝　 　，＝　 　；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；

（3）若，且均為正整數，求的值．

【答案】（1）；；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或13

【解析】分析：（1）由a+b=(m+n)2，展開比較系數可得答案；

（2）取m=1，n=1，可得a和b的值，可得答案；

（3）由題意得m和n的方程，解方程可得m和n，可得a值．

詳解：（1）∵a+b=(m+n)2，

∴a+b=m2+3n2+2mn，

∴a=m2+3n2，b=2mn．

故答案為：m2+3n2，2mn．

（2）設m=1，n=1，

∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．

故答案為4、2、1、1．

（3）由題意，得：

a=m2+3n2，b=2mn

∵4=2mn，且m、n為正整數，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．

點睛：本題主要考查二次根式的混合運算，完全平方公式，解題的關鍵在于熟練運算完全平方公式和二次根式的運算法則．

【題型】解答題
【結束】
28

【題目】如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足，

□ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線經過C、D兩點．

（1）若點D點縱坐標為t，則C點縱坐標為 （含t的代數式表示），k的值為 ；

（2）點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、Q的坐標；

（3）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，連接FN，當T在AF上運動時，試判斷∠ATH與∠AFN之間的數量關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）t-3，6；（2）（1，6），（0，9）；；（-1，-6），（0，-9）；（-1，-6），（0，3）；（3）∠ATH+∠AFN=135°．

【解析】分析：（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，故可得出A、B兩點的坐標，設D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根據反比例函數的性質求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函數的解析式為y=，再由點P在雙曲線y=上，點Q在y軸上，設Q（0，y），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標；

（3）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出結論．

詳解：（1）∵，且∴a+1＝0,a+b+4＝0，解得：a＝1；b＝3，

∴A（-1，0），B（0，-3），∵E為AD中點，∴xD=1，設D（1，t），

又∵DC∥AB，∴C（2，t-3），∴t=2t-6，∴t=6，∴k=6；

（2）∵由（1）知k=6，

∴反比例函數的解析式為，∵點P在雙曲線上，點Q在y軸上，

∴設Q（0，y），P（，

①AB為邊時：

如圖1所示： 若ABPQ為平行四邊形，則，

解得x=1，此時（1，6），（0，9）；

如圖2所示；若ABQP為平行四邊形，則，

解得x=-1，此時（-1，-6），（0，-9）； /p>

②如圖3所示；當AB為對角線時：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，解得x=-1，∴（-1，-6），（0，3）；

故（1，6），（0，9）；；（-1，-6），（0，-9）；（-1，-6），（0，3）；

（3）連NH、NT、NF，∵MN是線段HT的垂直平分線，

∴NT=NH，∵四邊形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，

在△BFN與△BHN中，∵BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，

∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，

四邊形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，

而∠NTF=∠NFT=∠AHN，

所以，∠ATN+∠AHN=180°，

所以，四邊形ATNH內角和為360°，

所以∠TNH=360°-180°-90°=90°．

∠ATH+∠AFN=135°．