Question

【題目】（問題情境）（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數量關系是 ；

（類比探究）

（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；

（拓展提升）

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為 ．

Answer 1

【答案】（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．

【解析】

（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．

（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE、GD相交于點H．因為矩形ECGF，所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF

+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，所以∠H=∠F=90°，所以DG⊥BE．

（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．首先證明點G的運動軌跡是線段GM，將2BG+BE的最小值轉化為求2（BG+DG）的最小值．

（1）DG=BE

理由：

∵正方形ABCD，

∴CD=CB，∠BCD=90°

∵正方形ECGF，

∴CG=CE，∠ECG=90°

∴∠ECG=∠BCD=90°

∴∠DCG=∠BCE

在△DCG和△BCE中

∴△DCG≌△BCE（SAS）

∴DG=BE

（2），DG⊥BE．

理由如下：延長BE、GD相交于點H．

∵矩形ECGF、矩形ABCD，

∴∠ECG=∠BCD=90°，

∴∠DCG=∠BCE，

∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，

∴CD：CB=CG：CE，

∵∠DCG=∠BCE，

∴△DCG∽△BCE，

∴，∠BEC=∠DGC，

∴

∵矩形ECGF

∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°

∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，

∴∠H=∠F=90°

∴DG⊥BE

（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．

易證△ECN∽△CGM，

∴，

∵EN=AB=2，

∴CM=1，

∴點G的運動軌跡是直線MG，

作點D關于直線GM的對稱點G′，連接BG′交GM于G，此時BG+GD的值最小，最小值=BG′

由（2）知，

∴BE=2DG

∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）

∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．

∵BG′=，

∴2BG+BE的最小值為4

故答案為4．