Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標為（0，﹣1），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度沿與y軸平行的方向向上運動，連接OM，BM，設運動時間為t秒（t＞0），在點M的運動過程中，當t為何值時，∠OMB=90°？
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x﹣2；

（2）

解：如圖1，

由（1）知y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ （x﹣2）2+ ；

∵D為拋物線的頂點，

∴D（2， ），

∵一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，

∴設M（2，m），（m＞ ），

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=OB2，

∴m2+4+m2+1=9，

∴m= 或m=﹣ （舍），

∴M（0， ），

∴MD= ﹣ ，

∵一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，

∴t= ﹣ ；

（3）

解：存在點P，使∠PBF被BA平分，

如圖2，

∴∠PBO=∠EBO，

∵E（0，﹣1），

∴在y軸上取一點N（0，1），

∵B（3，0），

∴直線BN的解析式為y=﹣ x+1①，

∵點P在拋物線y=﹣ x2+ x﹣2②上，

聯立①②得 ，

解得 或 （舍去），

∴P（ ， ）．

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式；（2）設出點M，用勾股定理求出點M的坐標，從而求出MD，最后求出時間t；（3）由∠PBF被BA平分，確定出過點B的直線BN的解析式，求出此直線和拋物線的交點即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．